ฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลด

ฟังก์ชันเพิ่มฟังก์ชันลด

ff จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง AA ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1x1 และ x2x2 ใดๆ ใน AA ถ้า x1<x2x1<x2 แล้ว f(x1)<f(x2)f(x1)<f(x2)

ff จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง AA ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก x1x1 และ x2x2 ใดๆ ใน AA ถ้า x1<x2x1<x2 แล้ว f(x1)>f(x2)f(x1)>f(x2)

                    เราอาจกล่าวง่ายๆ ได้ว่า ฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงใดๆ คือฟังก์ชันที่เมื่อค่า x$x$ เพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น ค่า y$y$ จะเพิ่มขึ้นตามด้วย ส่วนฟังก์ชันลดบนช่วงใดๆ คือฟังก์ชันที่เมื่อค่า x$x$ เพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น ค่า y$y$ จะลดลงสวนทางกัน

 ทฤษฎีบท

ให้ f$f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกๆ จุด บนช่วง A⊂Df$A<span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; none\; windowtext\; 1.0pt;\; color:\; \#333333;\; font-family:\; "Cambria\; Math","serif";\; font-size:\; 16.0pt;\; mso-bidi-font-family:\; "Cambria\; Math";\; mso-border-alt:\; none\; windowtext\; 0cm;\; padding:\; 0cm;">\subset <msub><mi></mi></msub></span></span><span\; class="mjxassistivemathml"><span\; style="border:\; none\; windowtext\; 1.0pt;\; color:\; \#333333;\; font-family:\; "Cordia\; New","sans-serif";\; font-size:\; 16.0pt;\; mso-ascii-theme-font:\; minor-bidi;\; mso-bidi-theme-font:\; minor-bidi;\; mso-border-alt:\; none\; windowtext\; 0cm;\; mso-hansi-theme-font:\; minor-bidi;\; padding:\; 0cm;">D<mi>f</mi></span></span><span\; style="color:\; \#333333;\; font-family:\; "Cordia\; New","sans-serif";\; font-size:\; 16.0pt;\; mso-ascii-theme-font:\; minor-bidi;\; mso-bidi-theme-font:\; minor-bidi;\; mso-hansi-theme-font:\; minor-bidi;"><o:p></o:p></span>$

$$

1.  ถ้า f′(x)>0

${}^{}$

2.  ถ้า f′(x)<0

$$

ตัวอย่างที่ 1

     กำหนดฟังก์ชัน f(x)=2x3−3x2−12x+4f(x)=2x3−3x2−12x+4 จงตรวจสอบว่า ff เป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดบนช่วงใด

จาก f(x)=2x3−3x2−12x+4f(x)=2x3−3x2−12x+4 จะได้

f′(x)=6x2−6x−12f′(x)=6x2−6x−12

ตรวจสอบช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ให้ f′(x)>0f′(x)>0 จะได้

6x2−6x−12x2−x−2(x+1)(x−2)>>>0006x2−6x−12>0x2−x−2>0(x+1)(x−2)>0

จะได้ว่า f′(x)>0f′(x)>0 บนช่วง (−∞,−1)(−∞,−1) และ (2,∞)(2,∞)

และ f′(x)<0f′(x)<0 บนช่วง (−1,2)(−1,2)

 ตอบ ff เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง (−∞,−1)(−∞,−1) และ (2,∞)(2,∞) และเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง (−1,2)

$$

${<span\; class="mi"><nobr\; aria-hidden="true"\; style="border-bottom-width:\; 0px;\; border-left-width:\; 0px;\; border-right-width:\; 0px;\; border-top-width:\; 0px;\; box-sizing:\; border-box;\; line-height:\; normal;\; margin-bottom:\; 0px;\; margin-left:\; 0px;\; margin-right:\; 0px;\; margin-top:\; 0px;\; max-height:\; none;\; max-width:\; none;\; min-height:\; 0px;\; min-width:\; 0px;\; padding-bottom:\; 0px;\; padding-left:\; 0px;\; padding-right:\; 0px;\; padding-top:\; 0px;\; text-decoration:\; none;\; transition:\; none;\; vertical-align:\; 0px;\; white-space:\; nowrap;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; display:\; inline-block;\; transition:\; none;"><span\; style="border:\; none\; windowtext\; 1.0pt;\; mso-border-alt:\; none\; windowtext\; 0cm;\; padding:\; 0cm;"><span\; style="box-sizing:\; border-box;\; display:\; inline-block;\; transition:\; none;"></span></span></span></nobr></span>}^{}$